« Allons-y! » gueula Dean.

27 avril 2011

Première partie

Chapitre I

Mais alors ils s’en allaient, dansant dans les rues comme des clochedingues, et je traînais derrière eux comme je l’ai fait toute ma vie derrière les gens qui m’intéressent, parce que les seuls gens qui existent pour moi sont les déments, ceux qui ont la démence de vivre, la démence de discourir, la démence d’être sauvés, qui veulent jouir de tout dans un seul instant, ceux qui ne savent pas bailler, ni sortir un lieu commun mais qui brûlent, qui brûlent, pareils aux fabuleux feux jaunes des chandelles romaines explosant comme des poêles à frire à travers les étoiles et, au milieu, on voit éclater le bleu du pétard central et chacun fait: « Aaaah ! » Quel nom donnait-on à cette jeunesse-là dans l’Allemagne de Goethe ?

Un gars de l’Ouest, de la race solaire, tel était Dean.

Quelque part sur le chemin, je savais qu’il y aurait des filles, des visions, tout, quoi; quelque part sur le chemin on me tendrait la perle rare.

Chapitre IX

Ils étaient comme le type avec sa dalle de cachot et ses ténèbres, surgissant du souterrain, les épaves des bas-fonds de l’Amérique, une nouvelle génération foutue que j’étais en train de rallier à petits pas.

Chapitre XIII

D’un petit air dégoûté, son joli nez au vent, elle quitta les lieux et nous allâmes tous deux errer dans l’obscurité le long des fossés de la grand-route. Je portais les bagages. La buée sortait de nos bouches dans l’air froid de la nuit. Je pris enfin la décision de dérober au monde une nuit encore avec elle, et au diable le lendemain matin. Nous entrâmes dans la cour d’un motel et louâmes un petit appartement confortable pour environ quatre dollars, avec douche, serviette de bain, radio murale, et tout. On se serra très fort l’un contre l’autre. On eut une longue et sérieuse conversation et on se baigna et on agita des problèmes avec la lumière allumée d’abord puis la lumière éteinte. Une question venait sur le tapis, je soutenais une opinion à laquelle elle se ralliait et nous concluions le pacte dans l’obscurité, haletants, puis heureux, comme de petits agneaux.

Je courbais les épaules sous le vent froid et pluvieux, laissant errer mon regard sur les tristes vignobles d’octobre qui couvraient la vallée. Dans ma tête résonnait cette magnifique chanson, « Homme d’amour », telle que Billie Holiday la chante; c’était mon concert à moi, en pleine cambrousse. « Un jour on se trouvera et tu sècheras toutes mes larmes et tu me murmureras de douces, de petites choses à l’oreille, tu m’enlaceras et là m’embrasseras, ah, tu me manques, homme d’amour, ah où peux-tu être… » Ce n’est pas tant les paroles que la mélodie, magnifique, et la façon dont Billie chante ça, comme une femme qui passe la main dans les cheveux de son homme, à la lueur tamisée d’une lampe. Les vents hurlaient. J’avais froid.

Chapitre XIV

N’est-il pas vrai qu’au départ de la vie on est un petit enfant sage qui croit à tout ce qui se présente sous le toit paternel ? Puis vient le jour laodicéen où l’on sait qu’on est pauvre et misérable et malheureux et aveugle et nu, et, avec le visage macabre et désolé d’un spectre, on traverse en frissonnant une vie de cauchemar.

Deuxième partie

Chapitre IV

Il jouait des opéras de Verdi et les mimait drapé dans son pyjama, avec une grande déchirure qui lui descendait dans le dos. Il se foutait royalement de tout. C’est un homme de grande érudition qui déambule en titubant le long des quais de New York avec ds manuscrits originaux de musiciens du XVIIe siècle sous le bras, tout en gueulant. Il se traîne dans les rues comme une grosse araignée. Son excitation jaillissait de ses yeux par éclairs démoniaques. Il ployait sa nuque dans une extase spasmodique. Il zézayait, se tordait en convulsions, s’affalait, gémissait, hurlait, tombait à la renverse de désespoir. Il pouvait à peine placer un mot tellement ça l’excitait de vivre.

Chapitre V

La prison est l’endroit où l’on se promet à soi-même le droit de vivre.

Chapitre VIII

C’était triste de voir sa haute silhouette diminuer dans l’obscurité à mesure qu’on s’éloignait, exactement comme les autres silhouettes à New York et à la Nouvelle-Orléans: ils vacillent sous l’immensité étoilée et tout ce qu’ils sont est englouti. Où aller ? Que faire ? Dans quel but ? … Dormir. Mais cette équipe de déments était bandée vers l’avenir.

Chapitre IX

La Californie de Dean, pays délirant et suant, pays d’importance capitale, c’était celui où les amants solitaires, exilés et bizarres, viennent se rassembler comme les oiseaux, le pays où tout le monde, d’une manière ou d’une autre, ressemble aux acteurs de cinéma détraqués, beaux et décadents.

Troisième partie

Chapitre III

Je regardais par la fenêtre. Il était seul devant la porte, savourant la rue. Les rancunes, les récriminations, les bons conseils, la morale, la tristesse, tout était derrière lu et, au-devant de lui, c’était, déguenillée et extatique, la pure volupté d’être.

Chapitre V

Voilà un gars et tout le monde autour, hein ? C’est à lui de mettre en forme ce qui est dans la tête de chacun. Il attaque le premier chorus puis il déroule ses idées, bonnes gens, bien sûr, bien sûr, mais tâchez de saisir, et alors ils e hausse jusqu’à son destin et c’est à ce niveau qu’il doit souffler. Tout à coup, quelque part au milieu du chorus, il ferre le it; tout le monde sursaute et comprend; on écoute; il le repique et s’en empare. le temps s’arrête. Il remplit le vide de l’espace avec la substance de nos vies.

Nos bagages cabossés étaient de nouveau empilés sur le trottoir; nous avions encore bien du chemin à faire. Mais qu’importait, la route, c’est la vie.

Chapitre IX

Quelque part derrière nous ou devant nous dans la nuit immense, son père était couché avec sa cuite dans un taillis, cela du moins était certain – avec de la bave au menton, de l’urine sur son froc, de la mélasse aux oreilles, des croutes dans le nez, peut-être du sang dans les cheveux, et la lune qui l’illuminait.

Chapitre XI

Nous tous, que brûlons-nous de faire ? Que voulons-nous ? Elle ne savait pas. Elle bâilla. Elle avait sommeil. C’était trop lui demander. Personne ne pouvait le dire. Personne ne le dirait jamais. Un point c’est tout. Elle était âgée de dix-huit ans et très charmante, mais foutue.

Quatrième partie

Chapitre V

L’approche était délicate sans un langage commun. Et de nouveau tout le monde retrouva la paix et la sérénité et l’ivresse et se contenta de jouir de la brise du désert et de ruminer respectivement, eu égard à sa nation, à sa race et à sa personnalité, des pensées de haute éternité.

Assailli par les myriades fourmillantes des phosphènes célestes, il me fallait lutter pour voir la silhouette de Dean et il ressemblait à Dieu. J’étais tellement ivre que je devais appuyer la tête sur le dossier; les cahots de l’auto me fichaient des couteaux d’extase à travers le corps.

 

 

Extraits de Sur la route de Jack Kerouac (traduction de Jacques Houbard).

 


Proof that P-values under the null are uniformly distributed

22 avril 2011

I often hear in talks from statisticians that P-values are uniformly distributed under the null. But how can this be? And what does it mean? As the demonstration is pretty straightforward but nonetheless hard to find on the Internet, here it is.

Everything starts with an experiment (or at least with the observation of a natural phenomenon, be it part of an experiment or not). The aim is to assess whether or not the hypothesis we have about this phenomenon seems to be true. But first, let’s recall that a parametric test (see Wikipedia) is constituted of:

  • data: the n observations x_1, x_2, …, x_n are realizations of n random variables X_1, X_2, …, X_n assumed to be identically distributed;
  • statistical model: the probability distribution of the X_1, X_2, …, X_n depends on parameter(s) \theta;
  • hypothesis: an assertion concerning \theta, noted H_0 for the null (e.g. \theta=a), and H_1 for the alternative (e.g. \theta=b with b > a);
  • decision rule: given a test statistic T, if it belongs to the critical region C, the null hypothesis H_0 is rejected.

In practice, T follows a given distribution under H_0 (e.g. a Normal distribution, or a Student distribution) that does not depend on \theta but on n. We use the observations to compute a realization, noted t, of T.

The P-value, noted P, can be seen as a random variable, and its realization, noted p, depends on the observations. According to the notations, the formal definition of the P-value for the given observations is:

p = \mathbb{P} ( T \ge t | H_0 )

Therefore, according to Wikipedia, a P-value is the probability of obtaining a test statistic at least as extreme as the one that was actually observed, assuming that the null hypothesis is true. According to Matthew Stephens (source), a p value is the proportion of times that you would see evidence stronger than what was observed, against the null hypothesis, if the null hypothesis were true and you hypothetically repeated the experiment (sampling of individuals from a population) a large number of times.

Very importantly, note that the 2nd definition emphasizes the fact that, although it is computed from the data, a P-value does not correspond to the probability that H_0 is true given the data we actually observed!!

p \ne \mathbb{P} ( H_0 | x_1, x_2,..., x_n )

A P-value simply gives information in the case we would repeat the experiment a large number of times… (That’s why P-values are often decried.)

Ok, back on topic now. From the formula above, we can also write:

p = 1 - \mathbb{P} ( T < t | H_0 )

By noting F_0 the cumulative distribution function (cdf, fonction de répartition in French) of T under H_0, we obtain:

p = 1 - F_0( t )

And here is the trick, thanks to the fact that the cdf is monotonic, increasing and (left-)continuous:

\mathbb{P} ( T \ge t | H_0 ) = \mathbb{P} ( F_0(T) \ge F_0(t) ) = 1 - \mathbb{P} ( F_0(T) < F_0(t) )

Therefore, we have:

\mathbb{P} ( F_0(T) < F_0(t) ) = F_0( t )

Which means that F_0(T) is following a uniform distribution. And, as this means also that 1 - F_0(T) is uniformly distributed, then we can conclude that P-values are uniformly distributed under the null hypothesis.

cqfd.

But what does it mean? Well, we usually consider a significance level, noted alpha (small, e.g. 5%, 1%, 0.1%…), and if the P-value falls below this threshold, we reject the null and decide that the alternative is significant. However, let’s say we re-do the same experiment N times and compute a P-value for each of them. Since P-values are uniformly distributed under the null, it is as likely to find some of them between 0.8 and 0.85 than to find some of them below 0.05, if H_0 is indeed true. That is, some of them will fall below the significance threshold, just by chance. The experiments corresponding to these P-values are called false-positives: we think they are positives, i.e. we decide to accept H_1, while in fact they are really false, i.e. H_0 is true and should not be rejected.

Last but not least, if we re-do the same experiment 100 times and consider a threshold of 5%:

  • if H_0 is false (although we are not supposed to know it before doing the experiment), how many P-values will fall below this threshold just by chance? 5, on average;
  • if now H_0 is supposed to be true 50% of the time, what proportion of P-values will be around 5\% +- \epsilon? at least 23%, and typically 50% (see the paper of Sellke et al in 2001). In other words, when H_0 is true 50% of the time, a P-value of 5% doesn’t tell us anything, as half of the experiments from which they were calculated correspond to a true H_0, and half to a false H_0

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